硬件工程师手册

主题

深入#运放电路#有源滤波#二阶滤波#Sallen-Key#Q值#Butterworth

二阶滤波器 Sallen-Key 与 Q 值 Sallen-Key 2nd-Order Filter ​

1. 设计动机 ​

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一阶滤波器在截止频率外只以 −20dB/十倍频程慢慢衰减：想滤掉 10kHz 干扰、把截止设在 1kHz，10kHz 处才衰 20dB，干扰还剩 1/10。很多场合要"通带内尽量平、截止后迅速衰减"，就需要二阶乃至更高阶。

二阶滤波器在截止频率外以 −40dB/十倍频程滚降，而且可以通过一个叫 Q 值（Quality Factor，品质因数）的参数调节通带边缘形状：Q 低则平缓，Q 高则在截止频率附近"鼓包"（peaking）。Sallen-Key 是最经典、最容易算、最容易做的二阶结构。

2. 原理图 ​

单位增益/增益可调 Sallen-Key 低通：两级 RC 在前向通路里，运放接成同相放大器（增益 K=1+Rb/RaK=1+R_b/R_a）。

Sallen-Key 二阶低通：Vin 经 R1、节点 A、R2 到同相端；C1 从节点 A 到输出，C2 从同相端到地；反馈 Rb/Ra 设定增益 K
Sallen-Key 二阶低通：Vin 经 R1、节点 A、R2 到同相端；C1 从节点 A 到输出，C2 从同相端到地；反馈 Rb/Ra 设定增益 K

3. 静态分析（DC） ​

  • 直流下两个电容 C1、C2 都开路；R1、R2 直通，运放同相端电位等于直流输入（无直流衰减）。
  • 运放接成同相放大器，直流增益 K=1+Rb/RaK=1+R_b/R_a，输出直流 Vout=K⋅Vin(DC)V_{out}=K\cdot V_{in(DC)}。
  • 同相输入阻抗高，前级 RC 网络负载很轻——这正是 Sallen-Key 用同相结构的原因。

4. 动态分析（AC / 瞬态） ​

取元件等值 R₁=R₂=R、C₁=C₂=C 时，传递函数简化为：

H(s)=K1+(3−K)sRC+(sRC)2,fc=12πRCH(s)=\frac{K}{1+(3-K)sRC+(sRC)^2},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC}

把它写成标准二阶形式 H(s)=Kωc2s2+ωcQs+ωc2H(s)=\dfrac{K\omega_c^2}{s^2+\dfrac{\omega_c}{Q}s+\omega_c^2}，可得：

Q=13−K,K=1+Rb/RaQ=\frac{1}{3-K},\qquad K=1+R_b/R_a

  • QQ 决定频率特性形状；KK 越大 QQ 越高；
  • KK 必须小于 3（即 QQ 为有限正值），K≥3K\ge3 时 Q≤0Q\le0，电路变成振荡器——这是稳定性红线；
  • 典型设计：Butterworth（最大平坦）Q=1/2≈0.707Q=1/\sqrt2\approx0.707，对应 K=1.586K=1.586；Bessel（最佳群时延）Q=0.577Q=0.577。

不同 Q 值的归一化幅频曲线（横轴 f/fcf/f_c）：

5. 环路分析 ​

Sallen-Key 是电压串联负反馈（同相放大器），反馈系数 β=Ra/(Ra+Rb)\beta=R_a/(R_a+R_b)，噪声增益 K=1/βK=1/\beta。

  • Q 与稳定性的关系：Q=1/(3−K)Q=1/(3-K)。KK 接近 3 时 Q→∞Q\to\infty，二阶网络的阻尼项趋零，环路在 fcf_c 处相移叠加后满足振荡条件——表现为输出在 fcf_c 附近出现大鼓包甚至自激。设计时必须让 KK 明显小于 3（留裕量），元件误差也会推高 QQ。
  • 元件灵敏度：Sallen-Key 对电阻电容比值的灵敏度较低，这是它比多路反馈（MFB）结构更稳、更常用的原因。
  • 运放带宽要够：fcf_c 应远小于运放增益带宽积（建议 GBP≫100fcGBP\gg100 f_c），否则实际 Q 会偏离设计值。
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设节点 A（R1 与 R2 之间）电位 VaV_a，同相端电位 V+V_+。由同相端 KCL：(Va−V+)/R=sCV+(V_a-V_+)/R = sC V_+。由节点 A 的 KCL：(Vin−Va)/R=(Va−V+)/R+sC(Va−Vout)(V_{in}-V_a)/R=(V_a-V_+)/R+sC(V_a-V_{out})。代入 Vout=KV+V_{out}=K V_+，消去 VaV_a、V+V_+，整理即得 H(s)=K/[1+(3−K)sRC+(sRC)2]H(s)=K/[1+(3-K)sRC+(sRC)^2]。可见反馈电容 C1 把输出"引回"节点 A，正是这个正反馈通路抬升了 fcf_c 附近的响应、决定了 Q。

6. 元件取值与工程权衡 ​

  • 先选 C：按频率量级取标准电容。fcf_c 在 kHz 级取 C=1nF~100nF；C 太大则 R 太小、C 太小则 R 太大。
  • 反算 R：R=1/(2πfcC)R=1/(2\pi f_c C)，取 E96 标准电阻（1% 精度，Q 对元件值敏感）。
  • 增益 K：按目标响应类型定。Butterworth 用 K=1.586K=1.586；不要为了放大信号盲目加大 K——K 大 Q 高，通带会鼓包。
  • 电阻比值：Rb/Ra=K−1R_b/R_a=K-1。两个电阻都取 10k~100k，避免偏置失调。
  • 电容匹配：等值设计要求 C1=C2，实际选同批次、同精度电容，否则 Q 偏移。

7. 完整设计示例 ​

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  1. 需求：−3dB 截止 1kHz，通带最大平坦（Butterworth），通带增益 1.586（≈4dB）。
  2. 选电容：取 C1=C2=10nF（C0G，1%）。
  3. 算 R：R=1/(2πfcC)=1/(2π×1k×10n)≈15.9kΩR=1/(2\pi f_c C)=1/(2\pi\times1\text{k}\times10\text{n})\approx15.9\text{k}\Omega，取 E96 标准值 15.8kΩ（1%）。
  4. 定增益：Butterworth K=1.586K=1.586，Rb/Ra=K−1=0.586R_b/R_a=K-1=0.586。取 Ra=10kΩR_a=10\text{k}\Omega，则 Rb=5.86kΩR_b=5.86\text{k}\Omega，取标准值 5.9kΩ（1%）。
  5. 验算：fc=1/(2π×15.8k×10n)≈1.005kHzf_c=1/(2\pi\times15.8\text{k}\times10\text{n})\approx1.005\text{kHz}；Q=1/(3−1.586)=0.707Q=1/(3-1.586)=0.707；f=10kHzf=10\text{kHz}（10 倍）处滚降约 −40dB。
  6. 运放选型：选 GBP≥1MHz（如通用 LM358/OPA2134），双电源或单电源加偏置。

8. 仿真与实验 ​

LTspice 搭建 Sallen-Key 低通：

  • AC 扫描 10Hz~100kHz，画伯德图；应在 1kHz 处比通带低 3dB，10kHz 处比一阶多衰减约 20dB；
  • 故意把 RbR_b 调大让 K→2.9K\to2.9（Q 约 10），观察 fcf_c 附近出现明显鼓包；再调到 K=3K=3，观察电路起振——直观理解 Q 与稳定边界；
  • 瞬态输入 10kHz 方波，观察输出严重衰减、近似三角波。

扩展与变种电路 ​

扩展1：Sallen-Key 高通 SK High-Pass ​

把 Sallen-Key 低通里的电阻与电容位置互换，就得到二阶高通——fcf_c 以下以 −40dB/十倍频程衰减，fcf_c 以上平坦通过。

Sallen-Key 高通：Vin 经 C1、C2 串接，R1/R2 决定反馈与接地
Sallen-Key 高通：Vin 经 C1、C2 串接，R1/R2 决定反馈与接地
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等值元件时：

H(s)=(sRC)21+(3−K)sRC+(sRC)2,fc=12πRCH(s)=\frac{(sRC)^2}{1+(3-K)sRC+(sRC)^2},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC}

形式与低通互补：低频（电容开路）信号被挡，高频（电容短路）直通。K<3K<3 的稳定性约束与低通相同。

取值：与低通对称，R,CR,C 互换角色。

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高通在直流下增益为 0，输出静态应为 0（或偏置点）；若输出漂移说明运放本身失调，而非滤波器问题。

扩展2：等元件单位增益 SK Equal-Component ​

取 R1=R2=RR_1=R_2=R、C1=C2=CC_1=C_2=C，运放接成单位增益缓冲器（K=1K=1），是元件种类最少、最易算的二阶结构。

单位增益 Sallen-Key 低通：等值 R、C，输出直接接反相端
单位增益 Sallen-Key 低通：等值 R、C，输出直接接反相端
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K=1K=1 时：

H(s)=11+2sRC+(sRC)2,Q=13−K=12=0.5H(s)=\frac{1}{1+2sRC+(sRC)^2},\qquad Q=\frac{1}{3-K}=\frac{1}{2}=0.5

Q=0.5Q=0.5 是巴特沃斯响应以外的平滑型（过阻尼），无鼓包，适合对群时延敏感的场合。

取值：只需一种 RR、一种 CC，配 1% 元件。

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单位增益结构不能放大信号；需要通带增益时改用下一个"增益设定 Q"结构。

扩展3：增益设定 Q 值 SK Gain-set Q ​

用反馈分压 Rb/RaR_b/R_a 设定同相增益 KK，从而直接决定 QQ——想做巴特沃斯就把 KK 精确设在 1.586。

增益设定 Q：反相端经 Ra 接地、经 Rb 接输出，K=1+Rb/Ra
增益设定 Q：反相端经 Ra 接地、经 Rb 接输出，K=1+Rb/Ra
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K=1+RbRa,Q=13−KK=1+\frac{R_b}{R_a},\qquad Q=\frac{1}{3-K}

巴特沃斯 Q=0.707Q=0.707 对应 K=1.586K=1.586（Rb/Ra=0.586R_b/R_a=0.586）；KK 越接近 3，QQ 越高、通带边缘鼓包越大。

取值：Ra=10kΩR_a=10\text{k}\Omega，Rb=5.86kΩR_b=5.86\text{k}\Omega（1%）；R,CR,C 等值按 fcf_c 取。

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K>2.9K>2.9 后 QQ 过大，fcf_c 附近出现大鼓包甚至自激。设计与换元件都要让 KK 明显小于 3。

扩展4：MFB 无限增益多路反馈低通 MFB Low-Pass ​

反相型二阶结构（运放开环作"无限增益"），用两路反馈（电阻+电容）实现低通，适合做需要反相、低 Q 的场合。

MFB 低通：Vin 经 R1 接反相端，反馈臂 Rf 与 C，反相端经 Rg 接地
MFB 低通：Vin 经 R1 接反相端，反馈臂 Rf 与 C，反相端经 Rg 接地
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反相结构，同相端接地；两路反馈（RfR_f 与 CC）形成二阶极点。fcf_c、QQ 由电阻电容比值决定，增益与 fcf_c 耦合度比 Sallen-Key 更高。

取值：QQ 一般控制在 0.5~5；元件失配对 fcf_c 影响比 Sallen-Key 大。

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MFB 对元件比值更敏感，fcf_c 偏移比 Sallen-Key 明显；精密场合优先选 Sallen-Key，MFB 只在需要反相输出时使用。

9. 常见坑与故障现象 ​

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  • K 取到 ≥3，电路自激：现象是输出一直有高频正弦振荡，输入接不接都有。原因是 Q≤0Q\le0，二阶网络变成振荡条件。解决：严格 K<2.9K<2.9，留裕量。
  • 通带边缘有鼓包：现象是 fcf_c 附近增益比通带还高。原因是 Q 偏高（K 偏大或元件失配）。要 Butterworth 就把 K 精确设为 1.586。
  • 实际 Q 与设计不符：用了 ±5% 电阻电容、C1≠C2。解决：等值设计要求同批次 1% 元件。
  • 运放 GBP 不足：fcf_c 接近 GBP/100 时实际响应变形、Q 下降。解决：选 GBP 远大于 fcf_c 的运放。
  • 把 Sallen-Key 当反相用：Sallen-Key 是同相结构，输入共模电压等于信号，单电源设计要保证信号在共模范围内。

10. 自测题 ​

Sallen-Key 低通 R=15.8kΩ、C=10nF，截止频率 fc 是多少？

fc=1/(2πRC)=1/(2π×15.8k×10n)≈f_c=1/(2\pi RC)=1/(2\pi\times15.8\text{k}\times10\text{n})\approx 1.0kHz。

Butterworth 响应要求 Q=0.707，对应的同相增益 K 是多少？K 为什么不能取 3？

K=1+1/Q=1+1/0.707≈K=1+1/Q=1+1/0.707\approx 1.586（即 Rb/Ra=0.586R_b/R_a=0.586）。K=3K=3 时 Q=1/(3−K)→∞Q=1/(3-K)\to\infty，二阶网络阻尼为零，满足振荡条件，电路自激。

二阶低通在 fc 的 10 倍频处比通带低多少 dB？比一阶多衰减多少？

二阶以 −40dB/十倍频程滚降，10 倍频处低约 40dB；一阶只低 20dB，二阶多衰减 20dB——这就是高阶滤波器的意义。

11. 参考资料 ​

  • Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers (4th Ed.)，Sallen-Key 与 Q 值系统推导
  • TI, Op Amps for Everyone (SLOD006B)，二阶有源滤波器设计表
  • CircuitLab, Ultimate Electronics（在线可交互 Sallen-Key 仿真）