硬件工程师手册

主题

入门#数制#补码#格雷码#编码#二进制

数制、编码、补码与格雷码 ​

1. 设计动机 ​

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数字电路里只有 0 和 1，但工程师要表达的是电压、电流、温度、时间、有符号数、地址、指令。用一串 0/1 表示什么意思，就是"编码"。如果编码规则选错，硬件再贵也会算出错结果：有符号数用原码会出现 +0/−0 两个零、加减电路要分开两套；机械位置用普通二进制编码，相邻两位同时翻转会出现瞬时的"错码"毛刺。

补码（Two's Complement）让加法器天然支持减法；格雷码（Gray Code）让相邻状态只差一位。这两个约定是后面所有算术电路、计数器、总线协议的地基。

数字系统只用两种稳定电平（高/低），记为逻辑 1 与逻辑 0。多位并排的 0/1 就是一个二进制数。本章解决三件事：怎么把人用的十进制翻译成二进制、怎么表示负数、怎么让相邻状态只变一位。

2. 原理与逻辑图 ​

2.1 位权与进制 ​

任何进制数都是"位权展开"。二进制（Base-2）每一位权值是 2k2^k：

(1011)2=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅20=8+0+2+1=(11)10(1011)_2 = 1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0 = 8+0+2+1 = (11)_{10}

  • 十六进制（Hex, Base-16）：4 位二进制压成 1 位十六进制（0–9, A–F），是书写二进制最紧凑的方式，如 0x2F = 0010 1111。
  • BCD 码（Binary-Coded Decimal）：每 1 位十进制数字单独用 4 位二进制表示，如 135 = 0001 0011 0101。它让十进制显示/接口直观，但不是真正的二进制加法（1001+0001 要校正）。

2.2 有符号数的三种表示 ​

表示法+5 (4位)−5 (4位)零的个数加减硬件
原码 Sign-Magnitude01011101两个（0000/1000）加减要分开
反码 1's Complement01011010两个加减要循环进位
补码 2's Complement01011011唯一（0000）加减同一套加法器

补码求负：按位取反再加 1。−(0101)-(0101) = 0101‾+1\overline{0101}+1 = 1010+11010+1 = 10111011。nn 位补码范围是 −2n−1∼+(2n−1−1)-2^{n-1}\sim +(2^{n-1}-1)，4 位即 −8∼+7-8\sim+7。

2.3 补码加减法器硬件 ​

补码的最大红利：减法就是"加负数的补码"。下图用一个 SUB 控制端决定做 A+B 还是 A−B：SUB=1 时，每一位 B 先经过异或门按位取反，同时把进位输入 Cin 置 1（相当于"取反加 1"），加法器照常用。

4 位补码加减法器：SUB=1 时 B 逐位取反且 Cin=1，实现 A−B；溢出由最高两位进位异或得到
4 位补码加减法器：SUB=1 时 B 逐位取反且 Cin=1，实现 A−B；溢出由最高两位进位异或得到

3. 静态分析（真值表与位运算） ​

补码加法按位相加、丢弃最高位进位，结果自动正确。以 4 位、A=+3(0011)A=+3(0011)、B=+5(0101)B=+5(0101) 为例：

运算竖式结果真值
3+53+50011+01011000−8-8（溢出）
3+(−5)3+(-5)0011+10111110−2-2 ✓
(−3)+(−5)(-3)+(-5)1101+10111000（丢进位）−8-8 ✓

溢出判据：两个正数相加却得到负数、或两个负数相加却得到正数，即为溢出。硬件上用最高位进位与次高位进位异或判断：Overflow=Cn−1⊕CnOverflow=C_{n-1}\oplus C_n。上例 3+5=83+5=8 在 4 位补码里其实已经溢出（+8+8 超出 +7+7），C3=1C_3=1、C4=0C_4=0，异或得 1，正是溢出。

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补码的本质是"模 2n2^n 计数"：把 −x-x 定义为 2n−x2^n-x，于是 a−b≡a+(2n−b)(mod2n)a-b \equiv a+(2^n-b) \pmod{2^n}。加法器天然做模 2n2^n 运算（最高位进位被丢弃），所以加减统一。这也是为什么补码只有一个零、范围不对称（多一个最小负数 −2n−1-2^{n-1}）。

4. 动态分析（计数波形与过渡毛刺） ​

普通二进制计数器从 0111 加 1 到 1000 时，4 位同时翻转。由于每位翻转延迟不同，过渡瞬间会短暂出现 0110、0011 等中间态——如果被外部逻辑采样就成了毛刺。格雷码让相邻两个码之间只变一位，从根本上消除这个过渡窗口。下面是 3 位二进制 vs 格雷码的计数波形：

观察：二进制序列相邻值差可达 4（0111→1000），格雷码相邻只差 1，且首尾 000 与 100 也只差一位（环形）。

5. 编码转换与运算规则 ​

  • 二进制→格雷码：最高位不变，其余每位 Gi=Bi+1⊕BiG_i = B_{i+1}\oplus B_i（见扩展图）。
  • 格雷码→二进制：最高位不变，其余 Bi=Bi+1⊕GiB_i = B_{i+1}\oplus G_i（从高位向低位逐位异或还原）。
  • 符号扩展（Sign Extension）：把 nn 位补码扩到 m>nm>n 位时，高位全部复制原符号位，不是补零。如 −5-5 的 4 位 1011 扩到 8 位是 11111011，不是 00001011。
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BCD 用 4 位表示 0000~1001，但 4 位二进制加法器会把 1010~1111 也当成合法进位。当某一位相加结果 ≥10\ge 10（或产生进位）时，必须手动加 0110(6) 校正。所以 BCD 加法器比纯二进制多一级"校正逻辑"，只在必须和十进制显示直接对接时才值得用。

6. 元件取值与工程权衡 ​

  • 位数选择：范围 −2n−1∼2n−1−1-2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1，按量程选 nn。如 12 位 ADC 采样值是无符号 0∼40950\sim 4095；带符号电流采样常用 16 位补码。
  • BCD vs 二进制：要和数码管/十进制键盘直连用 BCD；要做乘除、滤波、运算一律用二进制（BCD 没有简单乘法规则）。
  • 格雷码用在哪：机械旋转编码器、相邻状态不能出错的状态机、跨时钟域单灰码总线。普通计数器用二进制即可。
  • 补码范围不对称：最小负数 −2n−1-2^{n-1} 没有对应正数，取负会溢出（− (−2n−1)=−2n−1-\,(-2^{n-1})=-2^{n-1} 仍成立），固件里要单独判。

7. 完整设计示例 ​

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  1. 需求：两路温度传感器各输出 8 位补码（单位 0.1°C，范围 −12.8~+12.7°C），求温差 Tdiff=TA−TBT_{diff}=T_A-T_B。
  2. 定编码：8 位补码范围 −128∼+127-128\sim+127，对应 −12.8~+12.7°C，正好覆盖需求。
  3. 做减法：复用上面的加减法器，SUB=1，硬件自动算 TA+TB‾+1T_A+\overline{T_B}+1。
  4. 判溢出：两路温度都在量程内，最坏温差 ±25.5∘\pm25.5^\circ，仍落在 8 位补码 −12.8∼+12.7-12.8\sim+12.7 之外的风险存在——把结果扩成 9 位再存，或用 16 位寄存器避免溢出。
  5. 验算：TA=+25(00011001)T_A=+25(00011001)，TB=−10(11110110)T_B=-10(11110110)。TA−TB=TA+TB‾+1=00011001+00001001+1=00100011=+35T_A-T_B = T_A+\overline{T_B}+1 = 00011001+00001001+1 = 00100011 = +35，即 +3.5∘+3.5^\circ ✓。本例结果 +35+35 落在 8 位补码量程 −128∼+127-128\sim+127 内，不溢出。

8. 仿真与实验 ​

在 Logisim 中验证补码加减：

  • 拖出两个 4 位拨码开关接 A、B，一个开关接 SUB；
  • 用 4 个异或门把 B 的每一位与 SUB 相连，异或输出接 4 位行波进位加法器，Cin 接 SUB；
  • 输出接 4 个 LED（带七段译码）；
  • 测试用例：A=3, B=5, SUB=0 应得 8；SUB=1 应得 −2（LED 显示补码 1110）。
  • 故意输入 A=7, B=1, SUB=0，观察溢出标志 Overflow=1。

扩展与变种电路 ​

扩展1：二进制↔格雷码转换器 Binary-to-Gray Converter ​

机械旋转编码器最怕相邻位同时翻转产生的过渡毛刺，格雷码相邻只变一位，是位置反馈的标准编码。

4 位二进制转格雷码：最高位直通，其余每位由相邻两位异或得到
4 位二进制转格雷码：最高位直通，其余每位由相邻两位异或得到
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  • 规则 G3=B3G_3=B_3，Gi=Bi+1⊕BiG_i=B_{i+1}\oplus B_i，只需 3 个异或门，延迟一级。
  • 4 位对照表（节选）：
二进制 B格雷码 G
00000000
00010001
00100011
00110010
01000110
01110100
10001100
  • 反变换：B3=G3B_3=G_3，Bi=Bi+1⊕GiB_i=B_{i+1}\oplus G_i，从高位向低位逐级异或还原。

设计要点：格雷码位数 = 编码器码道数；同轴转一圈读 2n2^n 个位置。取值/对比：二进制计数器用普通同步二进制即可，机械/旋转位置反馈必须用格雷码，否则振动或采样时刻落在翻转窗口会读出错位位置。

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  • 现象：格雷码输出送 BCD→七段译码后显示乱跳。
  • 原因：格雷码不是普通加权二进制，0110 在格雷码里代表 4，在二进制里代表 6，直接译码必然错。
  • 解决：先加一级"格雷→二进制"异或链还原成普通二进制，再送显示/计算。

9. 常见坑与故障现象 ​

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  • 符号扩展补零而不是补符号位：把 8 位补码 11110110(−10) 截成 16 位时写成 00000000_11110110，瞬间变成 +246。高位必须复制符号位（全 1）。
  • 负数取负忘记"加 1"：只做按位取反得到的是反码，不是补码，差一个 LSB。−5 的反码是 1010，补码才是 1011。
  • 溢出不判：两个正数相加结果变负却没人管，固件把"−8"当成温度读数，输出乱跳。有符号运算必须挂溢出标志或扩位。
  • BCD 直接当二进制乘除：BCD 没有加权乘法，0001 0101(15) 当二进制乘 2 得 0010 1010(42)，而不是 30。BCD 只用于十进制接口。

10. 自测题 ​

4 位补码 1011 表示的十进制是多少？范围是多少？

最高位为 1 是负数，求补：1011‾+1=0100+1=0101=5\overline{1011}+1=0100+1=0101=5，所以 1011 = −5。4 位补码范围 −8∼+7-8\sim+7。

为什么补码加法器能同时做加法和减法？

减法 A−BA-B 等价于 A+(−B)A+(-B)，而 −B-B 的补码就是 B‾+1\overline{B}+1。用 SUB 控制端让 B 逐位取反、Cin 置 1，同一个加法器自动完成 A+B‾+1=A−BA+\overline{B}+1=A-B，不需要单独的减法器。

机械旋转编码器为什么优先用格雷码而不是普通二进制？

普通二进制相邻状态可能多位同时翻转，机械转动有抖动、采样有先后，过渡瞬间会读到错误的中间码。格雷码相邻状态只变一位，无论何时采样，读错最多差 1 格，不会出现"跳一大格"。

11. 参考资料 ​

  • M. Morris Mano, Digital Design，数制与补码章节
  • sources/notes/free-textbooks-digest.md（数电经典教材摘要）